わたなべ学習塾 | 日記 | 昨年の入試問題を見ていて

今更ですが、昨年の入試問題を見ていると「オイラー関数」を背景にした出題が目立ちますよね。これは言うまでもなく、数学Aの整数分野の影響です。しかしもちろん、高校の教科書でしっかりと扱われているわけでもないので、出題をされても手が出せない受験生も多いのでは無いでしょうか。

この問題を扱っている問題集の解答は、そのほとんどが「倍数の個数を全体から引く」という、集合で用いられる手法を使っています。しかしこれだけはっきりとしたテーマなのですから、できればその性質などを知っておくほうがいいと感じます。

と言うか、生徒が分からなくても教えている先生が知っておかないと、生徒から咄嗟に質問をされた時にきっと困ると思います。そうならないよう、次の性質を目安に予習しておくほうがいいでしょうね。

以下オイラー関数をφ(x)で表します。すなわち、整数x（高校では特に”０以上”としておく方が無難かと思います）についてφ(x)を「０以上x以下の整数のうち、xと互いに素なものの個数」と定義します。この時、

①　pを素数とするとき、φ(p)=p-1
②　（正の）整数a,bに対して、φ(ab)=φ(a)φ(b)

これを知っていると、この関数の見通しが良くなり、スムーズに問題を考えることが出来ます。そしてこの性質を元に問題が考えられるようになったら、改めてこの性質を証明してみてください。そうしたら十分に、高校生としての解答を書くことが出来ますからね。

ということで、年明け二日目から早速勉強のお話です。
受験生の皆さんは、まもなくやってくるセンター試験という強敵に立ち向かうべく、全力で準備を進めてください。
受験生ではない方は、こういう受験生の姿を目に焼き付けて、自分が受験するときの参考にしてください。
私も残りの期間、全力で頑張ります。

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